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數(shù)學(xué)很擅長(zhǎng)描繪我們生活的世界，所以一些人認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅僅是可以描繪世界的工具，世界本身就是某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這個(gè)觀點(diǎn)吸引了任何一個(gè)熱愛數(shù)學(xué)的人，但是它經(jīng)得起檢驗(yàn)嗎？劍橋大學(xué)物理哲學(xué)家的杰里米·巴特菲爾德有下面一些觀點(diǎn)分享給我們。

數(shù)學(xué)宇宙假說(shuō)

毫無(wú)疑問(wèn)在科學(xué)的歷史中，尤其是物理學(xué)，提供了無(wú)數(shù)的例證據(jù)在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的力量去描述自然現(xiàn)象方面?？茖W(xué)革命中的重要人物、現(xiàn)代科學(xué)之父伽利略，設(shè)想用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述了很多，也可能是全部現(xiàn)象。

因此在《試金者》(The Assayer)一書中他寫道，“哲學(xué)”與我們所說(shuō)的“自然科學(xué)”或者“物理學(xué)”有等同的意義：

哲學(xué)被鐫刻在這部稱為宇宙的大書上，這本書永遠(yuǎn)打開著，接受我們的凝視。但要是我們不先掌握它的語(yǔ)言，不去解讀它賴以記錄的字符，那我們就不可能理解這部大書。它以數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫就，其字符是三角形、圓形和其他幾何圖形。沒有這些，凡人連一個(gè)詞也讀不懂；沒有這些，人們就在暗黑迷宮中徘徊。

當(dāng)然，自從伽利略時(shí)代以來(lái)，數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域上就有了巨大的進(jìn)展—即使是身為天才的他也是無(wú)法想象的。這證明數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具，它也深深地扎根于現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)中。于是一些人就推動(dòng)這個(gè)觀點(diǎn)走向了極端，認(rèn)為宇宙本身就是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

怎么會(huì)成這樣呢？物理學(xué)家馬克斯·泰格馬克在他的書《我們的數(shù)學(xué)宇宙》中采用了一條推理原則：外部現(xiàn)實(shí)完全獨(dú)立于我們?nèi)祟?。如果這是真的，那么外部現(xiàn)實(shí)就必須具有一種完全沒有主觀成分的描述:也就是說(shuō)，完全沒有源于有關(guān)任何人類認(rèn)知的生物學(xué)事實(shí)、文化事實(shí)或者有關(guān)個(gè)人心理的事實(shí)。

泰格馬克對(duì)這些客觀成分起了一個(gè)生動(dòng)隱喻性的名字，稱它們?yōu)椤鞍ぁ?由于我們的生物學(xué)、文化或者人類歷史的偏見，這就造成我們對(duì)自然的描述中包含了錯(cuò)誤或負(fù)擔(dān)。對(duì)于從我們對(duì)自然的描述中剔除這些主觀成分的努力，他有一個(gè)更加生動(dòng)的比喻：科學(xué)，尤其是物理學(xué)，在歷史上已經(jīng)做出了并且應(yīng)該繼續(xù)努力去克服偏見。因此他稱擺脫主觀因素的成分為“減輕行李重量”，這似乎是一個(gè)有價(jià)值的目標(biāo)。

這種觀點(diǎn)認(rèn)為沒有任何包袱的描述就是純粹的數(shù)學(xué)。它由抽象的實(shí)體（它們可能帶著充滿包袱的眼睛來(lái)代表組成世界的基本粒子）和它們之間的關(guān)系組成。一旦所有的包袱都被卸掉，你就只剩下數(shù)學(xué)了。所以泰格馬克認(rèn)為我們應(yīng)該得出結(jié)論：這個(gè)世界是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

巴特菲爾德對(duì)這一論點(diǎn)的答復(fù)如下：我同意科學(xué)，特別是物理學(xué)，在歷史上不斷地努力克服由于我們的主觀構(gòu)成（生物學(xué)、文化和個(gè)人）而引起的各種認(rèn)知偏見。我也認(rèn)同要想在未來(lái)取得進(jìn)步，我們必須期待物理學(xué)的繼續(xù)努力。許多其他的科學(xué)家也都同意這一觀點(diǎn)，尤其是物理學(xué)家和哲學(xué)家。我還相信外部現(xiàn)實(shí)是獨(dú)立于我們?nèi)祟惖摹谡軐W(xué)中，這種觀念通常被稱為現(xiàn)實(shí)主義——這種外部現(xiàn)實(shí)理論意味著現(xiàn)實(shí)必須具有完全沒有主觀成分的描述。但是我不同意這暗示著宇宙是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。總而言之，我的看法是：我們必須區(qū)分應(yīng)用數(shù)學(xué)（也稱理論物理學(xué)）和純粹的數(shù)學(xué)。

應(yīng)用數(shù)學(xué)

應(yīng)用數(shù)學(xué)給出了真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)描述(尤其是物理現(xiàn)象)，它存在于空間和時(shí)間中?！罢鎸?shí)”并不一定意味著“完整”。例如我把牛奶倒入杯子時(shí)它灑到了桌子上。應(yīng)用數(shù)學(xué)成功地根據(jù)相關(guān)的物理量(如少量牛奶的位置、速度和密度)來(lái)描述了其流動(dòng)方式。

但是我們忽視了很多細(xì)節(jié)，例如牛奶的原子的組成。當(dāng)然，這是通過(guò)將牛奶建模為由足夠大包含許多原子的體積組成來(lái)完成的（因此我們希望不受原子現(xiàn)象的影響）。但是按照我們?nèi)祟惖臉?biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)它的體積還是很小的，所以牛奶的成分似乎是連續(xù)的。

這個(gè)例子所提到的關(guān)鍵特征是它的“相關(guān)物理量”：位置、速度和密度。當(dāng)然，自伽利略時(shí)代以來(lái)，引入了新的物理量重新定義了舊的物理，這有時(shí)是非常微妙的，這是物理學(xué)的偉大成就之一。它把新的和舊的法則結(jié)合形成了一套法律和方法，盡管這些方法可能會(huì)出錯(cuò)，而且事實(shí)上它也在隨著過(guò)去幾十年的變化而改變，但在理論理解和經(jīng)驗(yàn)的定量預(yù)測(cè)方面它都從一個(gè)成功走向了另一個(gè)成功。

我們已經(jīng)在伽利略的“三角形、圓形和其它幾何圖形”中走了很長(zhǎng)一段路了。在他的時(shí)代里，希望物理學(xué)能夠只運(yùn)用幾何的概念（從希臘人那里繼承而來(lái)），或許還可以運(yùn)用更多的概念(如接觸或碰撞的概念、質(zhì)量或密度的概念)進(jìn)行管理確實(shí)是合理的。但事實(shí)并非如此，因?yàn)榇笞匀坏南胂罅Τ搅宋覀?！所以?dāng)物理學(xué)家繼續(xù)研究連續(xù)不斷的新現(xiàn)象領(lǐng)域時(shí)，它不得不引入一系列新的物理量（也需要改進(jìn)舊的物理量）。正是這些獨(dú)特的物理量（當(dāng)然，它們對(duì)于所描述的系統(tǒng)的價(jià)值）成為了物理方程中的符號(hào)。

總的來(lái)說(shuō)，如今，我們應(yīng)該修改伽利略的說(shuō)法。與其說(shuō)“自然是一本數(shù)學(xué)語(yǔ)言的書”，不如說(shuō)“自然是一本數(shù)學(xué)語(yǔ)法的書，但具有物理學(xué)的語(yǔ)義”。

與純粹數(shù)學(xué)比較

什么是純粹的數(shù)學(xué)？當(dāng)我高喊與上面“這兩者可以區(qū)分”時(shí)，到底是什么意思？

出于多種原因，在19世紀(jì)中葉出現(xiàn)了將數(shù)學(xué)作為對(duì)任意結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的思想。這意味著人們開始把數(shù)學(xué)看作是對(duì)數(shù)學(xué)家假定的支配某些元素領(lǐng)域的任意規(guī)則的后果的調(diào)查。這些規(guī)則是抽象的，因?yàn)橹挥兴鼈兊慕?gòu)行為才有價(jià)值。這些元素也是抽象的，除了遵守已公布的規(guī)則外，對(duì)于它們的性質(zhì)和彼此之間的關(guān)系沒有任何假設(shè)。

幾何學(xué)提供了一個(gè)例子。幾何是由一組物質(zhì)組成（點(diǎn)、線、面）和一些關(guān)于這些物體的基本事實(shí)組成（例如通過(guò)任意的兩個(gè)點(diǎn)可以繪制一條直線）。但是有幾種不同的結(jié)構(gòu)可以回答這個(gè)描述。

我們熟悉的二維平面產(chǎn)生了一個(gè)完美的幾何體。但在球體的表面也存在的大圓距離也相當(dāng)于平面上直線那樣。兩者在本質(zhì)上是不同的，尤其是因?yàn)槿切蔚谋憩F(xiàn)不同。在平面上，它們的角度總是等于180度；而在球體中，它們的角度總是大于180度是由于三角形向外凸出。

在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)了第三種幾何形狀，稱為雙曲幾何，其中它的三角形的角度加起來(lái)少于180度。它描述了我們?nèi)粘Ｉ钪袥]有經(jīng)歷過(guò)的空間。這一發(fā)現(xiàn)開始讓數(shù)學(xué)家們將物理空間的實(shí)際幾何(一個(gè)由標(biāo)尺和量角器所揭示的經(jīng)驗(yàn)性事物)與純幾何系統(tǒng)的概念區(qū)別開來(lái)，即使它沒有用來(lái)描述物理空間，但兩者也可以是一致的，值得深入研究。